具有量化爆破率的共转能量临界波映射方程动力学

我们考虑从 $\mathbb{R}^{1+2}$ 到 $\mathbb{S}^2\subset \mathbb{R}^3$ 的波映射。在额外的 $k$-共转对称性假设下，该问题简化为一维半线性波动方程：\begin{equation*} \partial_t^2 u-\partial_r^2 u-\frac{\partial_r u}{r}+k^2 \frac{\sin(2u)}{2r^2}=0. \end{equation*} 对于任意整数 $k\ge 1$ 和任意整数 $m\ge 2k$，我们展示了一组初始数据 $(u_0,u_1)$，其能量任意接近基态解 $Q$ 的能量，使得相应的解 $u$ 通过集中其能量在有限时间内发生爆破。确切地说，解 $u$ 满足 \begin{equation*} \lim\limits_{t\rightarrow T} \left\|\left(u(t,r)-Q\left(\frac{r}{\lambda(t)}\right)-u_1^*(r), \partial_t u-u_2^*(r)\right)\right\|_{H\times L^2}=0 \end{equation*} 且具有量化速度 \begin{equation*} \lambda(t)=c(u_0,u_1)(1+o_{t\to T}(1))\frac{(T-t)^{\frac{m}{k}}}{|\log(T-t)|^{\frac{m}{k(m-k)}}}, \end{equation*} 其中 $\|u\|_{H}:=\int_{\mathbb{R}^2}\left(|\partial_r u|^2+\frac{|u|^2}{r^2}\right).$