共转能量临界调和热流的量子化慢爆破动力学

我们考虑从 $\Bbb R^2$ 到 $\Bbb R^3$ 中光滑紧致旋转曲面上的能量临界调和热流。对于具有共转对称性的初始数据，其演化约化为如下半线性径向对称抛物问题：$$\partial_t u -\pa^2_{r} u-\frac{\pa_r u}{r} + \frac{f(u)}{r^2}=0$$，其中 $f$ 为一类适当的函数。给定一个整数 $L\in \Bbb N^*$，我们展示了一组在能量临界拓扑下任意接近最小能量调和映射 $Q$ 的初始数据，使得相应的解在有限时间内爆破，其能量以如下方式集中：$$\nabla u(t,r)-\nabla Q(\frac{r}{\l(t)})\to u^* \text{ 在 } L^2 \text{ 中}$$，且爆破速度由以下{\it 量子化}速率给出：$$\l(t)=c(u_0)(1+o(1))\frac{(T-t)^L}{|\log (T-t)|^{\frac{2L}{2L-1}}},$$ 这与形式预测 [3] 一致。$L=1$ 的情形对应于 [37] 中所展示的稳定区域，而 $L\ge 2$ 的数据在某种弱意义下位于余维数为 $(L-1)$ 的流形上。我们的分析延续了 [36,32,37] 的工作，进一步揭示了激发态慢爆破速率的存在机制以及这些阈值动力学的相关不稳定性。