能量空间中三维五次非线性薛定谔方程在球面上的爆破解

我们证明，如果 $u(t)$ 是 Merle-Raphaël (2001-2005) 研究的 $L^2$ 临界聚焦 NLS 方程 $i\partial_t u +\Delta u + |u|^{4/d} u=0$ 在 $d=1, 2$ 情形下、具有初始数据 $u_0\in H^1(\mathbb{R}^d)$ 的对数-对数型爆破解，那么 $u(t)$ 在远离爆破点的 $H^1$ 范数下有界。这一结论无需假设初始数据 $u_0$ 具有超越 $H^1(\mathbb{R}^d)$ 的正则性。作为 $d=1$ 结果的一个应用，我们在径向能量空间 $H^1_{rad}(\mathbb{R}^3)$ 中构造了一个初始数据的开子集，其对应的解在三维五次（$\dot H^1$ 临界）聚焦 NLS 方程 $i\partial_tu + \Delta u + |u|^4u=0$ 下于正半径的球面上爆破。这改进了 Raphaël-Szeftel (2009) 的结果，后者仅在 $H^3_{rad}(\mathbb{R}^3)$ 中得到了一个开子集。证明方法可概括如下：在全空间上，爆破尺度以上的高频部分通过双线性 Strichartz 估计加以控制；另一方面，在爆破核心之外，低频部分通过有限传播速度加以控制。