聚焦三维非线性薛定谔方程在收缩球面上爆破的一个解

我们严格构造了三维立方聚焦非线性薛定谔方程（NLS）$i\partial_t \psi + \Delta \psi + 2 |\psi|^2\psi=0$ 的径向 $H^1$ 解，该解沿一个收缩球面发生爆破。设定爆破时间为 $t=0$，这些解集中在半径约为 $\sim t^{1/3}$ 的球面上，但以更快的速率 $\sim t^{2/3}$ 向该球面聚焦。此类动力学最初由 Degtyarev-Zakharov-Rudakov (1975) 启发式地提出，随后 Holmer-Roudenko (2007) 独立提出，并证明其与该方程的所有守恒律一致。在后一篇论文中，该解被提议为会在“宽”半径 $\sim |\nabla u(t)|_{L_x^2}^{-1/2}$ 内导致 $L_x^3$ 范数发散，但在“紧”半径 $\sim |\nabla u(t)|_{L_x^2}^{-2}$ 内不会发散的解，后者是 Sulem-Sulem (1998) 第 7 章中详细描述并在数值上观察到的自相似爆破解的收缩速率。