聚焦三维立方 Schrödinger 方程的阈值解

我们研究具有 $H^1$ 数据且处于质量 - 能量阈值的聚焦三维立方 NLS 方程，即当 $M[u_0]E[u_0] = M[Q]E[Q]$ 时。在 Holmer-Roudenko 以及 Duyckaerts-Holmer-Roudenko 的早期工作中，已对 $M[u_0]E[u_0] < M[Q]E[Q]$ 时解的行为（即散射和有限时间爆破）进行了分类。在本文中，我们首先展示了三个特殊解：$e^{it}Q$、$Q^+$ 和 $Q^-$；其中 $Q$ 为基态，$Q^+$ 和 $Q^-$ 在正时间方向上指数趋近于基态解，同时 $Q^+$ 在负时间方向上发生有限时间爆破，而 $Q^-$ 在负时间方向上散射。其次，我们对处于该阈值的解进行了分类，并得出在 $\dot{H}^{1/2}$ 对称性下，它们的行为恰好与上述三个特殊解一致，或者像低于质量 - 能量阈值的解那样在两个时间方向上均发生散射和爆破。这些结果是通过研究此质量超临界情形下线性化 Schrödinger 算子的谱性质、建立相关的调制稳定性以及对线性化方程的指数衰减解进行细致分析而获得的。