严格凸障碍外聚焦型三维立方 NLS 方程在质量-能量阈值处的解

我们研究聚焦型 $3d$ 立方非线性 Schrödinger 方程在严格凸障碍外部、质量-能量阈值处的动力学，即当 $E_{\Omega}[u_0] M_{\Omega}[u_0] = E_{\R^3}[Q] M_{\R^3}[Q]$ 且 $\left\| \nabla u_0 \right\|_{L^{2}(\Omega)} \left\|u_0\right\|_{L^{2}(\Omega)}< \left\| \nabla Q \right\|_{L^2(\R^3)} \left\| Q \right\|_{L^2(\R^3)} ,$ 其中 $u_0 \in H^1_0(\Omega)$ 为初值，$Q$ 为欧氏空间上的基态，$E$ 为能量，$M$ 为质量。在整段欧氏空间中，Duyckaerts 与 Roudenko（基于 Duyckaerts 与 Merle 在能量临界问题上的工作）已证明存在一个特定的全局解，其在负时间散射并在正时间收敛到孤子。我们证明这些异宿轨道在外部区域问题中不存在，且阈值处的所有解均为全局定义并散射。主要困难在于空间平移参数的控制，因为 Galilean 变换不可用。