二维聚焦非线性 Schrödinger 方程与障碍物的相互作用

我们数值研究了在光滑、紧致且严格凸的障碍物（圆盘）外部、具有 Dirichlet 边界条件的二维三次与五次聚焦非线性 Schrödinger 方程解。我们首先考察了障碍物对以不同角度和不同速度方向朝向障碍物传播的解的行为的影响。我们引入了解与障碍物弱相互作用和强相互作用的新概念。接下来，我们研究了依赖于相互作用类型的爆破解的存在性，并展示了障碍物的存在如何改变解的整体行为（例如从爆裂到整体存在），特别是在强相互作用情形下，以及它如何相比初始数据影响解的形状（例如分裂为透射和反射部分）。我们还研究了在强相互作用情形下障碍物尺寸通过质量和透射与反射部分对最终爆破解存在性的影响。此外，我们证明了在质量临界情形下，有障碍物时整体存在与有限时间爆破解的尖锐阈值与 Weinstein 对全欧氏空间 $\R^d$ 中 {\rm{NLS}} 给出的阈值相同。最后，我们构造了新的 Wall 型初始数据，其在与障碍物强相互作用后有限时间爆破，并且与全欧氏空间 $\R^d$ 中 {\rm{NLS}} 的所有其他爆破场景和动力学相比具有非常不同的动力学。