三维三次 NLS 方程在基态能量之上的全局动力学

我们将先前关于非线性 Klein-Gordon 方程的结果推广到三维空间中具有聚焦三次非线性的非线性 Schrödinger 方程，针对能量略高于基态能量的径向数据。我们证明初始数据集被划分为九个非空、两两不相交的区域，这些区域由解在大时间下的不同行为刻画：爆破、散射到 0，或散射到由相位和尺度自由度生成的基态族。后一种类型的解形成一个光滑的中心稳定流形，该流形包含基态，并将相空间局部划分为两个连通区域，分别表现出爆破和散射到 0 的行为。Duyckaerts 和 Roudenko 发现的特殊解在此处表现为从基态发出的唯一一维不稳定/稳定流形。与 Klein-Gordon 情形类似，该证明将基态附近的双曲动力学与远离基态的变分结构相结合。证明中的主要技术成分是一个“一次通过”定理，该定理排除了“几乎同宿轨道”，即那些从基态的小邻域出发、然后远离、最后又返回的解。与 Klein-Gordon 情形相比，主要的新困难是缺乏有限传播速度。我们需要径向 Sobolev 不等式来进行 virial 论证中的误差估计。与 Klein-Gordon 情形的另一个主要区别是需要控制两个调制参数。