分数阶非线性薛定谔方程的爆破

我们考虑具有聚焦幂型非线性的分数阶非线性薛定谔方程 (NLS)：$$i \partial_t u = (-\Delta)^s u - |u|^{2 \sigma} u, \quad (t,x) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^N,$$ 其中 $1/2< s < 1$，且当 $s \geq N/2$ 时 $0 < \sigma < \infty$，当 $s < N/2$ 时 $0 < \sigma \leq 2s/(N-2s)$。我们证明了对于 $L^2$-超临界和 $L^2$-临界幂 $\sigma \geq 2s/N$，在 $\mathbb{R}^N$ ($N \geq 2$) 中径向解爆破的一般判据。此外，我们研究了任意维数 $N \geq 1$ 下有界星形域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ 上并满足外部狄利克雷条件的分数阶 NLS 情形。在此设定下，我们证明了不施加 $u(t,x)$ 任何对称性假设的一般爆破结果。对于 $\mathbb{R}^N$ 中的爆破证明，我们推导了 $\mathbb{R}^N$ 中分数阶 NLS 的局部化维里估计，其使用了半群理论中分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^s$ 的 Balakrishnan 公式。在有界域的设定下，我们使用分数阶拉普拉斯算子的 Pohozaev 型估计来证明爆破。