映入$\mathbb{S}^2$的能量临界半波映射

我们考虑能量临界的半波映射方程 $$\partial_t \mathbf{u} + \mathbf{u} \wedge |\nabla| \mathbf{u} = 0$$ 其中 $\mathbf{u} : [0,T) \times \mathbb{R} \to \mathbb{S}^2$。我们给出了所有具有有限能量的行波孤立子的完整分类。证明基于将这些解几何表征为在$\mathbb{S}^2$上带有（未必自由的）边界的极小曲面。特别地，我们发现了一种显式的洛伦兹推进对称性，它由目标$\mathbb{S}^2$上的共形Möbius群作用于从$\mathbb{R}$到$\mathbb{S}^2$的半调和映射而实现。作为分类结果的补充，我们对任意度$m \geq 1$的半调和映射$\mathbf{Q}$附近的线性化算子$L$进行了详细分析。在此我们显式确定了零空间，包括零能量共振；特别地，我们证明了$\mathbf{Q}$的非退化性。此外，我们通过找出其所有$L^2$特征值并证明它们的简单性，给出了$L$谱的完整描述。进而，我们证明了$L$的一个强制性估计，并排除了本质谱内的嵌入特征值。我们的谱分析基于借助某些Jacobi算子（三对角无限矩阵）的重构，这些算子由定义在$\mathbb{R}$上的谱问题共形变换到单位圆$\mathbb{S}$得到。最后，我们构造了一个酉映射，可视为一种为未来在半调和映射附近的稳定性与爆破分析量身定制的规范变换。我们的谱结果也对半调和映射热流具有潜在应用，后者是半波映射方程的抛物对应物。