$\mathbb{T}$上的半波 maps方程：$H^{1/2}$全局温和性与近期间性

我们考虑半波maps方程 $$\partial_t \mathbf{u} = \mathbf{u} \times |D| \mathbf{u}$$ 其中$\mathbf{u} : \mathbb{R} \times \mathbb{T} \to \mathbb{S}^2$，$\mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$为一维环面，$\mathbb{S}^2 \subset \mathbb{R}^3$为单位球面。通过从有理初始数据的延拓，我们构建了一个唯一且连续的流图，用于处于临界能量空间 $H^{1/2}(\mathbb{T}; \mathbb{S}^2)$的数据。此外，我们证明了这些解的时间近期间性。对于有理初始数据的稠密子集，我们建立了时间的准期间性以及对$\|\mathbf{u}(t)\|_{H^s(\mathbb{T})}$的先验界，其中任意$s>0$。我们的分析在Hardy空间中作用于单值全纯函数的Lax对结构所得显式公式方面发挥了关键作用。作为核心要素，我们发展了一个普遍的稳定原理，用于完全可积偏微分方程在Hardy空间上具有Lax对结构的显式公式，包括Benjamin--Ono方程、Calogero--Sutherland DNLS以及本文中讨论的$\mathbb{T}$上的半波maps方程。我们的结果推广到以$\mathsf{Gr}_k(\mathbb{C}^d)$为目标流形的矩阵型半波maps方程 $$\partial_t \mathbf{U} = -\frac{i}{2} [ \mathbf{U}, |D| \mathbf{U} ]$$ 从而推广了特殊情况$\mathbb{S}^2 \cong \mathbb{CP}^1 \cong \mathsf{Gr}_1(\mathbb{C}^2)$。在另一篇论文中，我们证明了在规模临界能量空间$\dot{H}^{1/2}$中，针对$\mathbb{R}$上的半波maps方程的全局温和性，通过在复半平面$\mathbb{C}_+$上建立Hardy空间上的稳定原理来实现。