二维含 $Q_{\mu\nu}$ 零形式的非线性波动方程的几乎临界适定性

在本文中，我们证明了具有二次零形式导数非线性项 $Q_{\mu\nu}$ 的 1+2 维非线性波动方程 (NLW) 系统的最优局部适定性结果。已知对于这些方程的柯西问题，除 $Q_0$ 外的所有基本零形式，当数据位于 Sobolev 空间 $H^s$ 且 $s<5/4$ 时是不适定的。然而，标度分析预测局部适定性可达到临界正则性 $s_c=1$。继 Gr"{u}nrock 关于二次导数 NLW 的结果之后，我们考虑傅里叶 -Lebesgue 空间 $\^{H}_s^r$ 中的初始数据，该空间在 $r=2$ 时与同正则性的 Sobolev 空间重合，但在 $1<r<2$ 时标度行为类似于更低正则性的 Sobolev 空间。在此，我们获得了范围 $s>1+{1}{r}$，$1<r\leq 2$ 内的局部适定性，该范围在一端与 $H^{{3}{2}+}$ Sobolev 空间结果重合，而在另一端则为模型零形式问题在几乎临界傅里叶 -Lebesgue 空间 $\^{H}_{2+}^{1+}$ 建立了局部适定性。利用解空间的适当乘法性质并依赖 $Q_{\mu\nu}$ 形式的双线性估计，我们也证明了 Ward 波映射问题的几乎临界局部适定性。