关于 Pohozaev 型恒等式的若干注记

本注记旨在更详细地讨论作者、Paul Laurain 与 Tristan Rivière 近期在定义于 $R$ 或球面 $S^1$、取值于闭流形 $N^n\subset R^m$ 的半调和映射框架下所获得的 Pohozaev 型恒等式。弱半调和映射是如下非局部能量的临界点：$$\int_{R}|(-\Delta)^{1/4}u|^2 dx~~\mbox{或}~~\int_{S^1}|(-\Delta)^{1/4}u|^2\ d\theta.$$ 若 $u$ 是上述能量的充分光滑临界点，则其满足如下平稳性方程：\frac{du}{dx}\cdot (-\Delta)^{1/2} u=0~~\mbox{a.e in $R$}~~\mbox{或}~~\frac{\partial u}{\partial \theta}\cdot (-\Delta)^{1/2} u=0~~\mbox{a.e in $S^1$.} 利用 $S^1$ 中平稳性方程关于二维圆盘 M"obius 变换之迹的不变性，我们导出涉及弱半调和映射 $u\colon S^1\to N^n$ 傅里叶系数的一族可数关系。基于同样的思想，对于平稳调和映射，我们也给出 $2$ 维中由全纯函数生成的 $R^2$ 共形向量场所对应的同样多的 Pohozaev 型恒等式。