伪相对论薛定谔算符的 Pohozaev 恒等式及其应用

本文对 $\mathbb{R}^N$ 中问题 $(-\Delta+m^2)^su=f(u)$ 及其到 $\mathbb{R}^{N+1}_+$ 的调和延拓（当 $0<s<1$ 时）证明了 Pohozaev 型恒等式。因此，我们的设定包含伪相对论算符 $\sqrt{-\Delta+m^2}$，且据我们所知此处所示结果是原创的。该恒等式首先在延拓设定中获得，随后被“翻译”回原问题。为此，我们发展了分数阶算符 $(-\Delta+m^2)^s$ 的特定傅里叶变换理论，并由此定义原问题的弱解 $u$：若对所有 $v\in H^{s}(\mathbb{R}^N)$ 均满足恒等式 \begin{equation}\label{defsola}\int_{\mathbb{R}^N}(-\Delta+m^2)^{s/2}u(-\Delta+m^2)^{s/2}v\dd x=\int_{ \mathbb{R}^N}f(u)v\dd x\tag{S}\end{equation}。所得 Pohozaev 型恒等式随后被用于证明：当 $f(u)=|u|^{p-2}u$ 且 $p\geq 2^{*}_s$ 时无解；以及当 $f$ 由常数 $\kappa$ 下的 $\kappa u^3/(1+u^2)$ 建模时基态存在。在后一情形中，我们应用了 D. Ruiz 引入的 Nehari-Pohozaev 流形。最后，我们证明了若 $f$ 由如 $t^\alpha$（$\alpha\in(1,2^{*}_s-1)$）或 $t\ln t$ 的函数建模，则 $(-\Delta+m^2)^su=f(u)$ 的正解关于原点是径向对称且递减的。