具有边界奇异性的 Schrödinger 算子：Hardy 不等式、Pohozaev 恒等式与能控性结果

本文的目的有两方面。首先，我们研究当原点位于光滑区域 $\Omega\subset \rr^N$ ($N\geq 1$) 的边界上时，Schrödinger 算子 $$A_\la:=-\D -\frac{\la}{|x|^2}, \q \la\in \rr,$$ 的 Pohozaev 型恒等式的有效性。我们所探讨的问题与近期多篇论文中研究的具有边界奇异性的最优 Hardy-Poincaré 不等式密切相关。鉴于此，本文描述并解释了适当的泛函框架。其次，我们应用 Pohozaev 恒等式不仅研究了半线性椭圆方程，还推导了乘子法，以研究对应于奇异算子 $A_\la$ 的波动方程和 Schrödinger 方程的精确边界能控性。特别地，这补充并扩展了 Vanconstenoble 和 Zuazua [34] 的著名结果，他们曾在内部奇点的情况下讨论过同一问题。