关于分数阶谐振子：解的存在性与不存在性、正则性与衰减性质

在关于非线性项 $f$ 的简单假设下，我们考虑分数阶谐振子问题 $\sqrt{-\Delta+|x|^2}\,u=f(x,u)$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中，或在扩展设定 $\mathbb{R}^{N+1}_+$ 中，$$\left\{\begin{aligned} -\Delta v +|x|^2v&=0, &&\mbox{在 } \mathbb{R}^{N+1}_+ \text{ 中},\\ -\displaystyle\frac{\partial v}{\partial x}(x,0)&=f(x,v(x,0)) &&\mbox{在 } \mathbb{R}^{N}\cong\partial \mathbb{R}^{N+1}_+ \text{ 上}.\end{aligned}\right.$$ 定义空间 $$\mathcal{H}(\mathbb{R}^{N+1}_+)=\left\{v\in H^1(\mathbb{R}^{N+1}_+): \iint_{\mathbb{R}^{N+1}_+}\left[|\nabla v|^2+|x|^2v^2\right]dx dy<\infty\right\},$$ 我们证明了嵌入 $\mathcal{H}(\mathbb{R}^{N+1}_+)\hookrightarrow L^{q}(\mathbb{R}^N)$ 是紧的。我们还获得了该问题的Pohozaev型恒等式，证明当 $f(x,u)=|u|^{p^*-2}u$ 时问题没有非平凡解，将该问题的极值函数与空间 $H^1(\mathbb{R}^{N+1}_+)$ 的极值函数进行比较，证明该问题的解 $u$ 属于 $L^p(\mathbb{R}^N)$ 对所有 $p\in [2,\infty]$ 成立，并满足多项式衰减 $|u(x)|\leq C/|x|$ 对任意 $|x|>M$。最后，我们证明了当 $f(x,u)=|u|^{2^*-2}u+\lambda |u|^{q-1}$（$1<q<2^*-1$）时超线性临界问题解的存在性。