某些延拓问题解的存在性、正则性、渐近衰减与径向性

仅假设 $\displaystyle\lim_{t \to 0} \frac{f(t)}{t} = 0$ 且 $\displaystyle\lim_{t \to \infty} \frac{f(t)}{t^{p}} = 0$，对某个 $p \in \left(1,\frac{N+1}{N-1}\right)$，我们证明延拓问题 \begin{equation*}\left\{ \begin{array}{rcll} -\Delta u+ m^2u &=& 0, &\mbox{in} \ \ \mathbb{R}^{N+1}_{+} \\ -\frac{\partial u}{\partial{x}} (0,y)& =& f(u(0,y)), & y \in \mathbb{R}^{N}, \end{array}\right. \end{equation*} 以及延拓 Hartree 问题 \begin{equation*} \left\{\begin{aligned} -\Delta u +m^2u&=0, &&\mbox{in} \ \mathbb{R}^{N+1}_+,\\ -\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}(0,y)&=&-V_\infty u(0,y)+\left(\frac{1}{|y|^{N-\alpha}}*F(u(0,y))\right)f(u(0,y)) &&\mbox{in} \ \mathbb{R}^{N}\end{aligned}\right. \end{equation*} 的解在 $\mathbb{R}^N$ 中是径向对称的。在最后一个问题中，$V_\infty>0$ 为常数，$F$ 为 $f$ 的原函数。在相同假设下，还证明了第一个问题解的正则性和指数衰减，并且在传统 Ambrosetti-Rabinowitz 条件下，还证明了基态解的存在性。