空间相关分数阶算子的分部积分与Pohozaev恒等式

考虑${\Bbb R}^n$上阶为$2a$ ($0<a<1)$且具有偶符号的经典椭圆伪微分算子$P$。例如，$P=A(x,D)^a$，其中$A(x,D)$是二阶强椭圆微分算子；分数阶拉普拉斯算子$(-\Delta )^a$是一个特例。对于在有界光滑子集$\Omega \subset{\Bbb R}^n$上Dirichlet问题的解$u$，我们展示了一个带边界积分的分部积分公式，该边界积分涉及$(d^{-a}u)|_{\partial\Omega }$，其中$d(x)=\operatorname{dist}(x,\partial\Omega )$。这将Ros-Oton、Serra和Valdinoci的近期结果推广到$x$相关、非对称且具有低阶项的算子。我们还推广了他们的Pohozaev型公式，该公式可用于证明唯一延拓性质以及半线性问题非平凡解的不存在性。以$P=(-\Delta +m^2)^a$为例作了说明。我们分析的基本步骤是$P$的因式分解，$P\sim P^-P^+$，为此我们为构造中产生的广义伪微分算子$P^\pm$建立了一套演算。