分数阶伪微分算子的格林公式与 Dirichlet-to-Neumann 算子

本文处理分数阶拉普拉斯 $(-\Delta )^a$，$a>0$，以及更一般地经典伪微分算子（$\psi$do's） $P$ 的阶 $2a$ 偶符号应用于 ${\Bbb R}^n$ 光滑子集 $\Omega$ 上函数的边值问题。存在几种有意义的局部边界条件，例如 Dirichlet 与 Neumann 条件 $\gamma_k^{a-1}u=\varphi$，$k=0,1$，其中 $\gamma_k^{a-1}u=c_k\partial_n^k(u/d^{a-1})|_{\partial\Omega}$，$d(x)=\operatorname{dist}(x,\partial\Omega)$。我们展示了一个新的格林公式 $$(Pu,v)_\Omega -(u,P^*v)_\Omega =(s_0\gamma_1^{a-1}u+B\gamma_0^{a-1}u,\gamma_0^{a-1}v)_{\partial\Omega }-(s_0\gamma_0^{a-1}u,\gamma_1^{a-1}v)_{\partial\Omega },$$ 其中 $B$ 是 $\partial\Omega$ 上依赖于 $P$ 符号中前两项的一阶 $\psi$do。此外，在椭圆情形下，我们展示了如何由早期工作获得的因式分解 $P\sim P^-P^+$ 中的 $P^+$ 构造非齐次 Dirichlet 问题的类 Poisson 解算子 $K_D$。由此导出 Dirichlet-to-Neumann 算子 $S_{DN}=\gamma_1^{a-1}K_D$ 作为 $\partial\Omega$ 上带符号显式公式的一阶 $\psi$do。这导致了对那些 Neumann 问题为 Fredholm 可解的算子 $P$ 的刻画。