Dirichlet-to-Neumann 算子的谷差估计与泊松边界

我们考察由一般椭圆算子\n$${\cal A} u = - \sum_{k,l=1}^d \partial_k (c_{kl}\, \partial_l u) + \sum_{k=1}^d \Big( c_k\, \partial_k u - \partial_k (b_k\, u) \Big) +c_0\, u \in {\cal D}'(\Omega)$$\n其对应的 Dirichlet-to-Neumann 算子 ${\cal N}$，其中系数可能为复数。我们研究了三个问题：1) 谷差算子 $[{\cal N}, M_g]$ 在 $C^\nu$ 空间和 $L_p$ 空间中的有界性，其中 $M_g$ 表示由光滑函数 $g$ 乘法算子；2) 关联算子 ${\cal A}$ 的调和提升在 Hölder 空间和 $L_p$ 空间中的估计；3) 泊松算子 ${\cal N}$ 的热核的泊松边界。我们在系数为 Hölder 连续、域为有界且属于 $C^{1+\kappa}$ 类（其中 $\kappa > 0$）的情况下求解这些问题。对于泊松边界，我们还假设系数为实数。我们还证明了热核和具有 Dirichlet 边界条件的椭圆算子的格林函数 $G$ 的梯度估计。