能量临界半波方程驻波的多重性与渐近性

本文考虑具有给定质量 $\int_{{\mathbb{R}^N}} {{u}^2}=a^2$ 的能量临界半波方程驻波的多重性与渐近性：\begin{equation}\label{eqA0.1} \sqrt{-\Delta}u=\lambda u+\mu|u|^{q-2} u+|u|^{2^*-2}u,\ \ u\in H^{1/2}(\R^N), \end{equation} 其中 $N\!\geq\! 2$，$a\!>\!0$，$q \!\in\!\big(2,2+\frac{2}{N}\big)$，$2^*\!=\!\frac{2N}{N-1}$，$\lambda\!\in\!\R$ 作为拉格朗日乘子出现。我们证明方程 \eqref{eqA0.1} 存在一个基态 $u_a$ 和一个激发态 $v_a$，它们分别由相应能量泛函的局部极小元和山路型临界点刻画。我们获得了 $\{u_a\}$、$\{v_a\}$ 的若干渐近性质，值得指出的是，在无需相关极限问题任何唯一性条件的情况下，我们得到了当 $a\!\to\! 0^+$ 时 $\{u_a\}$ 的精确描述。本文的主要贡献是将 J. Bellazzini 等人 [Math. Ann. 371 (2018), 707-740] 的主要结果从能量次临界推广到能量临界情形。此外，这些结果可推广到具有 Sobolev 临界指数的一般分数阶非线性薛定谔方程，从而将 H. J. Luo-Z. T. Zhang [Calc. Var. Partial Differ. Equ. 59 (2020)] 的工作从能量次临界推广到能量临界情形。