带 Hardy 势的 NLS 方程在 Neumann 边界条件下半空间上的质量受限驻波

考虑 Neumann 问题：\begin{eqnarray*} \begin{cases} & -\Delta u-\frac{\mu}{|x|^2}u +\lambda u =|u|^{q-2}u+|u|^{p-2}u ~~~\mbox{in}~~\mathbb{R}_+^N,~N\ge3, &\frac{\partial u}{\partial \nu}=0 ~~ \mbox{on}~~ \partial\mathbb{R}_+^N \end{cases} \end{eqnarray*} 其中，满足质量约束：\begin{equation*} \int_{\mathbb{R}_+^N}|u|^2 dx=a>0, \end{equation*} 其中 $\mathbb{R}_+^N$ 表示 $\mathbb{R}^N$ 中的上半空间，$\frac{1}{|x|^2}$ 为 Hardy 势，$2<q<2+\frac{4}{N}<p<2^*$，$\mu>0$，$\nu$ 为 $\partial\mathbb{R}_+^N$ 的外单位法向量，$\lambda$ 为拉格朗日乘子。首先，应用 Ekeland 变分原理，我们建立了对应于关联能量泛函局部最小值的规范解的存在性。进一步地，我们通过采用包含 Morse 指数信息的参数化最小极值原理，寻找第二种驻波型规范解。我们的分析依赖于 $H^1(\mathbb{R}_+^N)$ 中的 Hardy 不等式，以及 $\mathbb{R}_+^N$ 上涉及 Hardy 势的 Pohozaev 同一式。该工作为在半空间内研究 Hardy 类型系统的规范解存在性提供了变分框架，且方法具有灵活性，可用于处理更一般的非线性项。