非线性Hartree型方程的驻波：存在性与定性性质

我们考虑如下形式的系统：$$\left\{ \begin{array}{l} -\Delta u + u = \frac{2p}{p+q}(I_\alpha \ast |v|^{q})|u|^{p-2}u \ \ \textrm{ in } \mathbb{R}^N, \\ -\Delta v + v = \frac{2q}{p+q}(I_\alpha \ast |u|^{p})|v|^{q-2}v \ \ \textrm{ in } \mathbb{R}^N, \end{array} \right.$$ 其中 $\alpha\in (0, N)$，$\max\left\{\frac{2\alpha}{N}, 1\right\} < p, q < 2^*$ 且 $\frac{2(N+\alpha)}{N} < p+ q < 2^{*}_{\alpha}$，$I_\alpha$ 表示Riesz势，$$2^* = \left\{ \begin{array}{l}\frac{2N}{N-2} \ \ \text{for} \ \ N\geq 3,\\ +\infty \ \ \text{for} \ \ N =1,2, \end{array}\right. \quad \text{and} \quad 2^*_{\alpha} = \left\{ \begin{array}{l}\frac{2(N+\alpha)}{N-2} \ \ \text{for} \ \ N\geq 3,\\ +\infty \ \ \text{for} \ \ N =1,2. \end{array}\right.$$ 这类系统源于对双组分吸引相互作用的Hartree理论某种近似的驻波解的研究。我们证明了基态解的存在性以及一些定性性质，例如每个分量的确定符号、径向对称性和在无穷远处的尖锐渐近衰减，以及（弱）解的正则性/可积性结果。此外，我们证明了直线 $p+q=\frac{2(N+\alpha)}{N}$ 和 $p+ q = 2^{*}_{\alpha}$ 对于解的存在性是临界的。