平面 Schrödinger-Poisson 系统具有给定 $L^2$-范数的驻波

本文研究维数 $N=2$ 时具有给定质量的 Schrödinger-Poisson 系统驻波解的存在性。这导致需要研究涉及对数卷积势的积分微分方程归一化解的存在性，即 $$\left \{ \begin{aligned} - \Delta u & + \lambda u + \gamma \Bigl(\log {| \cdot |} * |u|^2 \Bigr) u =a |u|^{p-2} u \qquad \text{in $\mathbb R^2$,} \\ &\int_{\mathbb R^2} |u|^2 dx = c \end{aligned} \right.$$ 其中 $c>0$ 是给定的实数。在关于 $\gamma \in \mathbb R$、$a \in \mathbb R$、$p>2$ 的不同假设下，我们证明了若干存在性与多重性结果。这里 $\lambda \in \mathbb R$ 作为拉格朗日参数出现，是未知量的一部分。与相关的更高维情形相比，上下均无界的对数核的存在使得解集的结构丰富得多，并迫使我们采用新的思想来捕捉归一化解。