双曲平面上稳态等变波映射的稳定性

本文启动了从二维双曲空间到旋转对称曲面的等变波映射的研究。由于定义域上同心测地线球面的指数体积增长，该问题表现出与其欧几里得对应问题显著不同的现象。特别是当靶空间为二维球面时，我们发现了一族由参数索引的等变调和映射，该参数衡量每个调和映射的像绕球面包裹的程度。这些映射的能量取值介于零与唯一的共转欧几里得调和映射 Q（从欧几里得平面到二维球面，由球极投影给出）的能量之间。我们证明了对于小于某阈值的参数值，这些调和映射是渐近稳定的，该阈值足够大以允许映射绕球面包裹超过一半。事实上，我们证明了围绕此类调和映射线性化所得算子的 Strichartz 估计。然而，对于能量趋近于 Q 的欧几里得能量的调和映射，由于线性化算子谱中存在隙本征值，基于 Strichartz 估计的微扰论证排除了渐近稳定性。当靶空间为二维双曲空间时，我们发现了一族具有任意小和任意大能量的渐近稳定等变调和映射的连续族。这与欧几里得空间上的对应问题形成鲜明对比，在后者中所有有限能量解在时间趋于无穷时都散射至零。