从 $S^2\times \RR$ 到 $S^2$ 的波映射的重整化与爆破

我们构造了一个从 $S^2\times \RR$ 到 $S^2$ 的共旋波映射问题的有限时间爆破的单参数族，参数化为 $\nu\in(1/2,1]$。纵向函数 $u(t,\alpha)$ 是研究的主要对象，它将作为旋转指标为1的从 $\RR^2$ 到 $S^2$ 的重新缩放调和映射的扰动而获得。该调和映射的定义域通过指数坐标 $(\alpha,\theta)$ 与定义域 $S^2$ 中北极的邻域等同。在这些坐标中，$u(t,\alpha)=Q(\lambda(t)\alpha)+\mathcal{R}(t,\alpha)$，其中 $Q(r)=2\arctan{r}$ 是标准的共旋调和映射到球面，$\lambda(t)=t^{-1-\nu}$，而 $\mathcal{R}(t,\alpha)$ 是误差项，其局部能量在 $t\rightarrow 0$ 时趋于零。爆破将在 $(t,\alpha)=(0,0)$ 处因能量集中而发生，并且在此之前，解具有 $H^{1+\nu-}$ 的正则性。