三维轴对称调和映射流到 S2 的爆裂现象

我们构造了三维调和映射流到球面 $S^2$ 的有限时间爆裂解，\begin{align*} u_t & = \Delta u + |\nabla u|^2 u \quad \text{in } \Omega\times(0,T) \\ u &= u_b \quad \text{on } \partial \Omega\times(0,T) \\ u(\cdot,0) &= u_0 \quad \text{in } \Omega , \end{align*} 其中 $u(x,t): \bar \Omega\times [0,T) \to S^2$。这里 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中有界光滑的轴对称区域。我们证明，对于任意具有相同轴对称性的圆 $\Gamma \subset \Omega$ 以及任意充分小的 $T>0$，存在初值和边界条件使得 $u(x,t)$ 恰在时间 $T$ 且恰好在曲线 $\Gamma$ 上爆裂，事实上 $$|\nabla u(\cdot ,t)|^2 \rightharpoonup |\nabla u_*|^2 + 8\pi \delta_\Gamma \text{ as } t\to T .$$ 对于正则函数 $u_*(x)$，其中 $\delta_\Gamma$ 表示支撑在该曲线上的 Dirac 测度。这是首个具有空间余维数为 2 奇异集的爆裂解例子，该余维数是 Chen-Struwe 和 Cheng 的偏正则性理论中所预测的最大维数。