二维 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程的有限时间奇点形成

我们构造了 Landau-Lifshitz-Gilbert 方程（LLG）从 ${\mathbb R}^2$ 到 $S^2$ 的有限时间爆破解 \begin{equation*} \begin{cases} u_t= a(\Delta u+|\nabla u|^2u) -b u\wedge \Delta u &\ \mbox{ in }\ {\mathbb R}^2\times(0,T), u(\cdot,0) = u_0\in S^2 &\ \mbox{ in }\ {\mathbb R}^2, \end{cases} \end{equation*} 其中 $a^2+b^2=1,~a > 0,~ b\in {\mathbb R}$。给定 $\mathbb{R}^2$ 中任意指定的 $N$ 个点和小的 $T>0$，我们证明存在正则初值数据，使得解在这些点处恰在有限时间 $t=T$ 爆裂，并在每点附近取尖锐缩放的 1 次调和映射剖面，具有 II 型爆破速度 \begin{equation*} \| \nabla u\|_{L^\infty } \sim \frac{|\ln(T-t)|^2}{ T-t } \ \mbox{ as } \ t\to T. \end{equation*} 证明基于在 \cite{17HMF} 中为调和映射流（HMF）发展的{\em 抛物内外粘合方法}。然而，色散存在的一个直接后果是适当量缺乏最大值原理，这使得即使在线性化层面分析也更为精细。为克服此困难，我们运用了两个关键技术要素：首先，对于内部问题我们采用 Krieger、Miao、Schlag 和 Tataru \cite{Krieger09Duke,KMS20WM} 发展的{\em 扭曲傅里叶变换}工具。其次，外部问题的线性理论通过具有空间 Dini 平均振荡（$\mathsf{DMO_x}$）系数的非散度型抛物系统基本解的次高斯估计实现，该估计最近由 Dong、Kim 和 Lee \cite{dong22-non-divergence} 证明。