等变临界 Landau--Lifshitz 流的上爆动力学

二维 Landau--Lifshitz 方程有限时间爆裂解的存在性是长期存在的问题，至少自 2001 年即见于文献（E, Mathematics Unlimited--2001 and Beyond, Springer, Berlin, P.410, 2001）。等变类中的更精细描述见于（van den Berg and Williams, European J. Appl. Math., 24(6), 912--948, 2013）。本文考虑 Landau--Lifshitz 方程的上爆动力学 $$\partial_tu=\mathfrak{a}_1u\times\Delta u-\mathfrak{a}_2u\times(u\times\Delta u),\quad x\in\mathbb{R}^2,$$ 其中 $u\in\mathbb{S}^2$，$\mathfrak{a}_1+i\mathfrak{a}_2\in\mathbb{C}$ 且 $\mathfrak{a}_2\geq0$、$\mathfrak{a}_1+\mathfrak{a}_2=1$。我们证明了在最低能量稳态附近存在 1-等变 Krieger--Schlag--Tataru 型爆裂解。更确切地说，我们证明对任意 $\nu>1$，存在形如 $$u(x,t)=\phi(\lambda(t)x)+\zeta(x,t),\quad \lambda(t)=t^{-1/2-\nu},$$ 的 1-等变有限时间爆裂解，其中 $\phi$ 为最低能量稳态，$\zeta(t)$ 在 $\dot{H}^1\cap\dot{H}^2$ 中任意小。证明通过重正化爆裂剖面及遵循（Krieger, Schlag and Tataru, Invent. Math., 171(3), 543--615, 2008）、（Perelman, Comm. Math. Phys., 330(1), 69--105, 2014）和（Ortoleva and Perelman, Algebra i Analiz, 25(2), 271--294, 2013）精神的扰动分析完成。