$H$-系统热流的有限时间奇点形成

我们构造了 $H$-系统热流有限时间爆裂解的首个例子，其描述具有常平均曲率的曲面演化 \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} &u_t = \Delta u - 2u_{x_1}\wedge u_{x_2}~\quad\text{ in }~\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}_+,\\ &u(\cdot, 0) = u_0~\qquad\qquad~\text{ in }~\mathbb{R}^2, \end{aligned} \right. \end{equation*} 其中 $u$: $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}_+\to \mathbb{R}^3$。有限时间奇点以缩放的最小能量 $H$-泡（记为 $W$）形式形成，表现出 II 型爆裂速度。一个关键观察是，围绕 $W$ 投影到 $W^\perp$ 上以及沿 $W$ 方向的线性化算子是解耦的。在 $W^\perp$ 上，线性化是线性化调和映射热流，而在 $W$ 方向上，它是线性化 Liouville 型流。基于此，我们还证明了任意次数的 $H$-泡的非退化性。