二维非对易平面上的旋转对称性与规范不变简并

我们求得处于均匀磁场 $B$ 与谐振势下的二维非对易平面上运动粒子的规范不变能级与简并度，以及具有旋转对称性的波函数。这是基于幂零李群 $G_{NC}$ 的含双参数族酉等价不可约表示的相空间坐标变换完成的。我们发现系统的能级与态是唯一的，因此简并度亦然，因其强烈依赖于所施加的 $B$ 与坐标非对易性 $\theta$。无 $B$ 时，我们本质上得到广义 Bopp 平移或 Seiberg-Witten 映射下的非对易平面谐振子。若 $\theta$ 正比于 $\hbar$ 与 $m\omega$ 之比，则总能找到简并能级。对于标度 $B\theta = \hbar$，能谱同构于对称规范下的朗道问题，从而无论 $\theta$ 取何值每个能级均无限简并。最后，若 $0 < B\theta < \hbar$，则简并发生还要求 $\theta$ 也正比于 $\hbar$ 与 $m\omega$ 之比。我们给出了这些比例参数，若不满足则得到非简并能级。最后，我们恰当展示了所有情形下 $B$ 与 $\theta$ 的概率密度及其对系统的影响。