具有指定局部爆裂曲面的非线性波动方程解

我们证明，对于 ${\mathbb R}^{1+N}$ 中任意足够可微的类空超曲面，在任意点附近局部地与聚焦非线性波动方程 $\partial_{tt} u - \Delta u=|u|^{p-1} u$ 在 ${\mathbb R} \times {\mathbb R} ^N$ 上的有限能量解的爆裂曲面重合，其中任意 $1\leq N\leq 4$ 且 $1 < p \le \frac {N+2} {N-2}$。我们遵循先前工作 [arXiv 1812.03949] 中开发的策略，该工作构造了在任意指定紧集上爆裂的非线性波动方程解。此处为证明在局部类空超曲面上爆裂，我们首先应用变量变换将问题归约为变换后方程在 $t=0$ 处小球的爆裂。然后，构造适当的近似解并结合能量方法，以证明变换后问题在 $t=0$ 处爆裂的解的存在性。为从迹论证获得原问题的有限能量解，我们需要对变换后问题使用 $H^2\times H^1$ 解。