某些非局部问题刘维尔性质的一个反例

本文针对如下形式的某些非局部反应扩散方程构造刘维尔性质的反例：$$\int_{\mathbb{R}^N\setminus K} J(x-y)\,( u(y)-u(x) )\mathrm{d}y+f(u(x))=0, \quad x\in\R^N\setminus K,$$其中 $K\subset\mathbb{R}^N$ 是一个有界紧集，称为“障碍”，且 $f$ 为双稳态非线性。当 $K$ 为凸集时，已知取值于 $[0,1]$ 且满足当 $|x|\to\infty$ 时 $u(x)\to1$ 的解必在整个空间中恒等于 $1$。我们构造了一族非平凡的单连通（非星形的）障碍以及数据 $f$ 和 $J$，使得该性质失效。