具单稳非线性非局部方程解的存在性与唯一性

设 $J \in C(\mathbb{R})$, $J\ge 0$, $\int_{\mathbb{R}} J = 1$，并考虑非局部扩散算子 $\mathcal{M}[u] = J \star u - u$。我们研究方程 $\mathcal{M} u + f(x,u) = 0$, $u \ge 0$ 在 $\mathbb{R}$ 中的情形，其中 $f$ 为关于 $x$ 周期的 KPP 型非线性项。我们证明，零解附近线性化的主特征值是良定义的，且该非线性问题存在非平凡解当且仅当该特征值为负。我们进一步证明，若 $J$ 还满足对称性，则该非平凡解是唯一的。