关于反应扩散方程中由局部测量确定非线性项

本文致力于分析源于异质环境中种群动力学的经典 Fisher-KPP 型反应扩散方程的某些唯一性性质。我们在一维区间 $(a,b)$ 中进行研究，并假设非线性项具有 $u \, (\mu(x)-\gamma u)$ 的形式，其中 $\mu$ 属于 $C^{0}([a,b])$ 的一个固定子集。我们证明，在已知 $\gamma$ 的情况下，$t=0$ 时的 $u$ 以及在单点 $x_0$ 和极短时间 $t\in (0,\varepsilon)$ 内的 $u$、$u_x$ 的信息，足以完全确定偶对 $(u(t,x),\mu(x))$。此外，如果对 $t\in (0,\varepsilon)$ 也测量了 $u_{xx}(t,x_0)$，则三元组 $(u(t,x),\mu(x),\gamma)$ 也能被完全确定。这些分析结果由数值模拟加以补充，数值模拟表明，在实践中，在单点 $x_0$（以及 $t\in (0,\varepsilon)$ 期间）测量 $u$ 和 $u_x$ 足以获得对系数 $\mu(x)$ 的良好近似。这些数值模拟还表明，导数 $u_x$ 的测量对于精确确定 $\mu(x)$ 是必不可少的。