由非局部 Fisher-KPP 问题的参数化驱动的全局存在性、渐近行为与图灵斑图形成

本文研究了非线性非局部反应扩散方程 \begin{align*} u_t=\Delta u+\mu u^\alpha(1-\kappa J*u^\beta),\quad\hbox{in} \;\mathbb R^N\times(0,\infty),\; N\geq 1 \end{align*} 在 $\alpha\geq1$、$\beta,\mu,\kappa>0$ 且 $u(x,0)=u_0(x)$ 时解的全局有界性与触发效应（hair trigger effect）。在对 $J$ 的适当假设下，证明了对任意非负有界初值，若 $\alpha\in[1,\alpha^*)$，其中 $\alpha^*=1+\beta$（当 $N=1,2$）且 $\alpha^*=1+\frac{2\beta}{N}$（当 $N>2$），则该问题存在全局有界经典解。在对初值作进一步假设下，满足 $0\leq u(x,t)\leq\kappa^{-\frac1\beta}$ 对任意 $(x,t)\in\mathbb R^N\times[0,+\infty)$ 的解被证明在 $\mathbb R^N$ 的任意紧子集上一致收敛于 $\kappa^{-\frac1\beta}$，此即所谓的触发效应。我们对该非局部反应扩散方程进行了二维数值模拟，并研究了参数与卷积核的若干组合对解行为的影响。结果引发了对该模型所产生若干猜想及在此背景下待研究进一步问题的讨论。文中还给出了从介观表述对该模型的正式推导。