Fisher-KPP 型自由边界问题的全局存在性

受带选择的分支粒子系统研究的启发，我们建立了自由边界问题解 $(u,\mu)$ 的全局存在性：$$\begin{cases} \partial_t u =\partial^2_{x} u +u & \text{for $t>0$ and $x>\mu_t$,}\\ u(x,t)=1 &\text{for $t>0$ and $x \leq \mu_t$}, \\ \partial_x u(\mu_t,t)=0 & \text{for $t>0$}, \\ u(x,0)=v(x) &\text{for $x\in \mathbb{R}$}, \end{cases}$$ 其中初始条件 $v:\mathbb{R}\to[0,1]$ 非增，且当 $x\to \infty$ 时 $v(x) \to 0$，当 $x\to -\infty$ 时 $v(x)\to 1$。我们将该解构造为序列 $(u_n)_{n\ge 1}$ 的极限，其中每个 $u_n$ 是具有相同初始条件但具有不同非线性项的 Fisher-KPP 方程的解。De Masi 等人~\cite{DeMasi2017a} 的近期结果表明，该全局解可识别为所谓 $N$-BBM（即分支布朗运动，其中通过在每次分支事件时杀死最左侧粒子使种群大小保持恒定为 $N$）的流体动力学极限。