$N$-BBM 过程的流体力学

分支布朗运动 (BBM) 是粒子在 $\mathbb R$ 中执行独立布朗运动，并且每个粒子以速率 1 在其当前位置创建一个新粒子；新生粒子的增量和分支独立于其他粒子。$N$-BBM 从 $N$ 个粒子开始，并且在每次分支时刻，最左边的粒子被移除，从而所有时刻粒子总数保持为 $N$。$N$-BBM 由 Maillard 提出，属于 Brunet 和 Derrida 引入的过程族。我们固定一个具有左边界 $L=\sup\{r\in\mathbb R: \int_r^\infty \rho(x)dx=1\}>-\infty$ 的密度 $\rho$，并让初始粒子位置为具有密度 $\rho$ 的 iid 连续随机变量。我们表明，在固定时间 $t$ 与粒子位置相关的经验测度当 $N\to\infty$ 时收敛到具有密度 $\psi(\cdot,t)$ 的绝对连续测度。极限 $\psi$ 在解存在时是自由边界问题 (FBP) 的解。有限时间区间内解的存在性最近由 Lee 证明。