布朗粒子系统中的竞争：激励优胜者

我们引入并通过解析与数值研究一个简单主体间竞争模型，其中对表现不佳者予以强烈抑制。我们考虑 $N\gg 1$ 个粒子在直线上做独立布朗运动。在随机时刻随机选取两个粒子，距原点较近者被重置回原点。我们证明，在 $N\to \infty$ 极限下，粗粒化粒子密度场的动力学可由一个非局部流体力学理论描述，该理论曾出现于临界区传染病空间范围的研究中。该流体力学理论预言系统弛豫至粒子“群”的稳态密度分布，其在远距离处呈幂律衰减。此弛豫的一个有趣特征是在稳态解周围存在非平稳“晕”，其继续以自相似方式扩张。扩张最终被有限 $N$ 效应在距原点 $\sqrt{N}$ 量级处阻止，这给出了群体平均半径的估计。该流体力学理论未能刻画距原点最远粒子——当前领先者——的行为。我们提出关于领先者距原点距离典型涨落的一个简单情景，并表明平均距离作为 $\sqrt{t}$ 无限持续增长。最后，我们将主体间竞争从 $n=2$ 推广到任意数目 $n$ 个竞争布朗粒子（$n\ll N$）。我们的解析预言得到蒙特卡洛模拟的支持。