N-分支马尔可夫过程的流体动力学极限

我们考虑分支-选择粒子系统在大种群极限下的行为。这些系统的动力学由以下三个部分组合而成：(a) 运动：粒子根据连续时间马尔可夫过程在实数轴上运动；(b) 分支：速率为 1 时，每个粒子在其当前位置生育一个新粒子；(c) 选择：为保持粒子总数恒定，每次分支事件导致系统中当前位于最低位置的粒子被立即移除。从 N $\ge$ 1 个粒子出发，其在 t = 0 时刻的位置构成分布 $\mu$ 0 的独立同分布样本，我们研究系统在后续时刻 t > 0、极限 N $\rightarrow$ +$\infty$ 下的行为。我们的第一个主要结果是，在底层马尔可夫过程满足适当（但相当温和）的正则性假设下，时刻 t 粒子种群的经验分布收敛于一个确定性极限，该极限刻画为马尔可夫过程在时刻 t 的条件分布，条件是直至时刻 t 未跨越某一（确定性）移动边界。我们的第二个结果是，在附加正则性假设下，时刻 t 的最低粒子位置收敛于该移动边界。这些结果扩展并改进了其他作者先前主要处理粒子按布朗运动运动的情形的工作。例如，我们的结果对广泛一类 L{\'e}vy 过程与扩散过程均成立。此外，我们获得了关于收敛速度的改进的非渐近界。