具有多项式尾部的$N$粒子分支随机游动的极限过程

我们考虑实线上一个由$N$个粒子组成的系统，该系统通过迭代以下步骤演化：1) 每个粒子分裂为两个，2) 每个粒子根据支撑在正实数上的指定位移分布进行跳跃，3) 仅保留最右侧的$N$个粒子，其余粒子从系统中移除。该系统在物理学文献中被作为描述前沿传播的微观随机模型示例而引入。在位移分布具有指数矩的情况下，其在大$N$下的行为无论从物理还是数学角度都已得到充分理解。在此，我们考虑具有正则变化尾部的位移情况，此时相关的空间和时间尺度显著不同。我们刻画了系统在两种不同渐近机制下的行为。首先，我们证明了在量级为$\log N$的时间尺度上，粒子重缩放位置的依分布收敛性，并基于时空泊松点过程的记录给出了极限的构造。其次，我们确定了当先让时间视界趋于无穷大、再让$N$趋于无穷大时的适当缩放。