关于$\Z$上分支-选择粒子系统的Brunet-Derrida行为的一个例子

我们考虑$\Z$上一个具有$N \geq 1$个粒子的分支-选择粒子系统。在分支步骤中，每个粒子被替换为两个新粒子，其位置通过从原始粒子的位置独立地执行两次根据分布$p \delta_{1} + (1-p) \delta_{0}$的随机游走步长来从原始粒子的位置偏移。在随后的选择步骤中，仅保留分支步骤得到的$2N$个粒子中最右边的$N$个粒子，以形成一个新的$N$个粒子的群体。经过大量迭代的分支-选择步骤后，整个$N$个粒子群体的位移是弹道式的，具有确定性的渐近速度$v_{N}(p)$。当$N$趋于无穷时，$v_{N}(p)$收敛到一个有限极限$v_{\infty}(p)$。主要结果是，对于每个$0<p<1/2$，当$N$趋于无穷时，差值$v_{\infty}(p)- v_{N}(p)$的量级为$\log(N)^{-2}$。这被称为Brunet-Derrida行为，参考了E. Brunet和B. Derrida 1997年的论文“Shift in the velocity of a front due to a cutoff”（见文中参考文献），该文通过数值模拟和启发式论证为类似的分支-选择粒子系统建立了这种行为。