Brunet-Derrida 粒子系统、自由边界问题与 Wiener-Hopf 方程

我们考虑 $\mathbb {R}$ 中的一个分支-选择系统，该系统包含 $N$ 个粒子，这些粒子以速率 1 独立地产生后代，并且在每次产生后代后，最左边的粒子被擦除，从而保持粒子数量恒定。我们证明，当 $N\to\infty$ 时，与该系统相关的经验测度过程依分布收敛到一个确定性的测度值过程，其密度函数求解一个自由边界积分-微分方程。我们还证明，该方程具有一个以速度 $c$ 传播的独特行波解，或者没有这样的解，这取决于 $c\geq a$ 还是 $c<a$，其中 $a$ 是通过忽略我们过程中擦除最左边粒子而得到的分支随机游走的渐近速度。行波解对应于 Wiener-Hopf 方程的解。