时间非齐次 N 粒子分支布朗运动与连续随机能量模型

$N$ 粒子分支布朗运动（$N$-BBM）是一个分支马尔可夫过程，描述了经历繁殖和选择的粒子群体的演化。它引起了广泛关注，一方面是因为它与前沿传播现象的研究有关，另一方面是因为它与（分层）物理 $p$-自旋模型有关，其中包括连续随机能量模型（CREM）。本文研究了在时间非齐次设定下，当时间范围 $T$ 和粒子数 $N$ 共同趋于无穷时，$N$-BBM 的渐近位移。我们估计了该过程的最大位移，精确到二阶，并表明后者在尺度 $\log N\approx T^{1/3}$ 处经历了一个相变。特别地，当 $\log N\ll T^{1/3}$ 时，我们恢复了 Brunet-Derrida 行为，该行为此前已在时间齐次设定下，并在 $T\to+\infty$ 然后 $N\to+\infty$ 的条件下得到证明。此外，我们的结果也可以从某些自旋玻璃模型的算法优化角度来解释，因为时间非齐次 $N$-BBM 可以看作是在上述 CREM 上执行一种称为束搜索的优化过程。L. Addario-Berry 和第二作者已证明 CREM 存在算法硬度阈值现象，而本文的结果精确描述了束搜索算法在该阈值附近的效率。