连续-离散滤波器的分支粒子逼近的收敛速率

本文中,我们分析一种高效的分支粒子方法,用于一类连续-离散滤波问题的渐近解。设 $t\to X_t$ 是一个 Markov 过程,我们希望计算取值测度的过程 $t\to\mu_t(\cdot)\doteq P\{X_t\in \cdot|\sigma\{Y_{t_k}, t_k\leq t\}\}$,其中 $t_k=k\epsilon$,且 $Y_{t_k}$ 是 $X_{t_k}$ 的失真、含噪、部分观测。于是,人们构造一个具有观测依赖分支以及 $n$ 个初始粒子的粒子系统,其在时刻 $t$ 的经验测度 $\mu_t^n$ 密切逼近 $\mu_t$。每个粒子在其他粒子独立的情况下,依据信号在观测时刻 $t_k$ 之间的规律演化,并在观测时刻以小概率分支。对于 $\epsilon$ 很小的滤波问题,使用本文所考虑的算法所需的计算量远少于那些不论 $\epsilon$ 取值如何都对全部粒子进行分支或交互的其它算法。我们在 L\'{e}vy 稳定信号上分析该算法,并给出 $E^{1/2}\{\|\mu^n_t-\mu_t\|_{\gamma}^2\}$ 的收敛速率,其中 $\Vert\cdot\Vert_{\gamma}$ 是一个 Sobolev 范数,以及相关的收敛结果。