分支马尔可夫过程与测度值分支过程的泊松表示

针对具有空间变化出生率和死亡率的模型，构造了分支马尔可夫过程及其测度值极限的可数粒子系统表示。每个粒子具有一个位置和一个“层级”，但与早期构造不同的是，层级随时间变化。事实上，粒子的死亡仅当其层级跨越指定层级 $r$ 时发生，或对于极限模型，当层级达到无穷时发生。对于分支马尔可夫过程，在每个时刻 $t$，以过程的状态为条件，层级相互独立且在 $[0,r]$ 上均匀分布。对于极限测度值过程，在每个时刻 $t$，位置和层级的联合分布条件地服从泊松分布，其均值测度为 $K(t)\times\varLambda$，其中 $\varLambda$ 表示勒贝格测度，$K$ 为所求的测度值过程。该表示简化或为多种计算和结果提供了替代证明，包括关于灭绝或非灭绝的条件化、超临界分支过程的哈里斯收敛定理，以及随机环境中过程的扩散近似。