具有给定移动边界的 Fisher-KPP 方程的自由边界问题

我们研究 Fisher-KPP 方程 $u_t=u_{xx}+u(1-u),\ t>0,\ ct<x<h(t)$ 的自由边界问题。常数 $c>0$ 是给定的，$h(t)$ 是由类 Stefan 条件确定的自由边界。该模型可用于描述非本地物种在一维栖息地上的扩散。自由边界 $x=h(t)$ 代表扩散前沿。在此模型中，我们在左侧移动边界 $x=ct$ 处施加零 Dirichlet 条件。这意味着栖息地的左边界是一个非常恶劣的环境，且栖息地正以恒定速度 $c$ 被左侧移动边界侵蚀。在本文中，我们将给出一个三分法定理，即对于任何初始数据，恰好发生消失、扩散和转变这三种行为之一。该结果与 Du, Wei 和 Zhou [11](arXiv:1508.06246) 所考虑的具有移动环境的 Fisher-KPP 方程自由边界问题中出现的结果相关。然而，我们问题中的消失不同于 [11] 中的消失，因为在我们问题的消失情形下，解不是全局时间解。