时间周期介质中某些单稳自由边界问题的精确传播轮廓

我们考虑形式为\begin{equation*} u_t - d u_{xx} = f(t,u), \quad t>0,\ \ x \in [g(t), h(t)] \end{equation*}的反应扩散方程，其中$f(t,u)$在$t$上周期且在$u$上单稳，区间$[g(t), h(t)]$表示密度为$u(t,x)$的物种在时间$t$和空间位置$x$处的一维种群范围。自由边界$x=g(t)$和$x=h(t)$根据栖息地边缘的“偏好种群密度”条件演化。类似于相应柯西问题中的行波解，半波解在理解此处自由边界问题所支配的传播现象中起着基础性作用。但与柯西问题（其中KPP条件在通过最小速度行波解精确近似其解（具有紧支撑初始函数）中起着微妙作用）相反，我们在此证明了一般单稳设置下半波解的存在唯一性，并获得了当时间趋于无穷时解向半波收敛的精确描述，其中KPP条件不起特殊作用。此前，这种精确结果仅针对$f$是自治的（$f=f(u)$，参见\cite{D}或\cite{DL15}中相关的自由边界模型）的自由边界模型得到证明，或者在时间周期情形下，在$f$满足额外强KPP条件时获得了不太精确的结果（参见\cite{MDW}，或\cite{DGP}中相关的自由边界模型）。这项工作似乎是首次证明异质环境中一般单稳自由边界问题的精确收敛结果，并且我们相信这里开发的方法应该适用于异质介质中具有比KPP类型更一般的非线性的相关自由边界问题。