一类非局部时间分数阶反应扩散方程的整体有界性与 Allee 效应

本文研究非局部时间分数阶反应扩散方程（NTFRDE）$$\frac{\partial^{\alpha }u}{\partial t^{\alpha }}=\Delta u+\mu u^{2}(1-kJ*u)-\gamma u, \qquad(x,t)\in\mathbb{R}^{N}\times(0,+\infty)$$ 解的整体有界性与渐近行为，其中 $0<\alpha <1,\beta, \mu ,k>0,N\leq 2$ 且 $u(x,0)=u_{0}(x)$。在对 $J$ 及时间分数阶导数的性质作适当假设下，证明对任意非负有界初值，当 $N=1$ 时 $k^{*}=0$ 或 $N=2$ 时 $k^{*}=(\mu C^{2}_{GN}+1)\eta^{-1}$（其中 $C_{GN}$ 为 Gagliardo-Nirenberg 不等式中的常数）时，该问题存在整体有界经典解。在对初值作进一步假设后，对于小的 $\mu$ 值，解在 $t \rightarrow \infty$ 时以指数方式或局部一致地收敛于 $0$，此即 Caputo 导数意义下的 Allee 效应。此外，在 $J \equiv 1$ 条件下，证明该非线性 NTFRDE 在任意维空间中具有整体有界解，其非线性扩散项为 $\Delta u^{m}\, (2-\frac{2}{N}< m\leq 3)$。