一般模数下三元二次同余式的小解

我们研究了形如 $x_1^2+\alpha_2x_2^2+\alpha_3x_3^2\equiv 0 \bmod{q}$ 的二次同余式中小的非平凡解，其中 $q$ 为奇自然数，平均意义下进行研究。这扩展了作者之前研究素数幂模 $q$ 的情况。上述情形中，$\alpha_2$ 是任意固定的，而 $\alpha_3$ 是可变的，我们假设 $(\alpha_2\alpha_3,q)=1$。我们证明对于所有与 $q$ 互素且仅除去少数 $\alpha_3$ 的情形，若 $N\ge q^{11/24+\varepsilon}$ 且 $q$ 足够大，则关于同余式 $x_1^2+\alpha_2x_2^2+\alpha_3x_3^2\equiv 0 \bmod{q}$ 的解的个数 $(x_1,x_2,x_3)$ 在条件 $\max\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}\le N$ 且 $(x_3,q)=1$ 时，存在渐近公式。值得注意的是，我们突破了上述指数中的 1/2 屏障。本文的关键工具包括 Burgess 对短区间字符和的估计，以及 Heath-Brown 对小区域内二进制二次形式字符和的估计，其证明依赖于有限域上曲线的黎曼假设。我们还提出了关于三元二次同余式最小解大小的改进猜想，这涉及其系数的 Diophantine 属性。